Định thức con và phần bù đại số

• Cho ma trận vuông A cấp n và phần tử aij. Định thức của ma trận cấp n-1 suy ra từ A bằng cách xóa đi dòng thứ i, cột thứ j được gọi là định thức con của A ứng với phần tử aij, ký hiệu là Mij.
• Định thức con Mij với dấu bằng (-1)i+j được gọi là phần bù đại số của phần tử aij, ký hiệu là Aij.

Ví dụ: Cho ma trận

A = [ 1 1 1 0 2 1 0 0 3 ] {\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&1&1\\0&2&1\\0&0&3\end{bmatrix}}} .Khi đó A 11 = ( − 1 ) 2 | 2 1 0 3 | = 6 {\displaystyle A_{11}=(-1)^{2}{\begin{vmatrix}2&1\\0&3\end{vmatrix}}=6} Tương tự A12=0; A13=0; A21=-3;A22=3;A23=0;A31=-1;A32=-1;A33=2;

Công thức tính ma trận nghịch đảo

Nếu định thức của ma trận A là khả nghịch thì ma trận nghịch đảo của A được tính bằng công thức:

A − 1 = 1 d e t ( A ) [ A 11 A 21 ⋅ A n 1 A 12 A 22 ⋅ A n 2 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ A 1 n A 2 n ⋅ A n n ] {\displaystyle A^{-1}={\frac {1}{det(A)}}{\begin{bmatrix}A_{11}&A_{21}&\cdot &A_{n1}\\A_{12}&A_{22}&\cdot &A_{n2}\\\cdot &\cdot &\cdot &\cdot \\A_{1n}&A_{2n}&\cdot &A_{nn}\end{bmatrix}}}

Các bước tìm ma trận nghịch đảo

• Bước 1: Tính định thức của ma trận ANếu det(A)=0 thì A không có ma trận nghịch đảo A − 1 {\displaystyle A^{-1}} Nếu det(A)≠0 thì A có ma trận nghịch đảo A − 1 {\displaystyle A^{-1}} , chuyển sang bước 2
• Bước 2: Lập ma trận chuyển vị A' của A.
• Bước 3: Lập ma trận phụ hợp của A' được định nghĩa như sau A ∗ = ( A i j ′ ) n n {\displaystyle A^{*}=(A'_{ij})_{nn}} với A ′ = ( A i j ′ ) {\displaystyle A'=(A'_{ij})} là phần bù đại số của phần tử ở hàng i, cột j trong ma trận A'.
• Bước 4: Tính ma trận A − 1 = 1 d e t ( A ) A ∗ {\displaystyle A^{-1}={\frac {1}{det(A)}}A^{*}}

Ví dụ

Cho A = [ 1 − 2 3 2 ] {\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&-2\\3&2\\\end{bmatrix}}} . Tính A − 1 {\displaystyle A^{-1}} ,

Tìm ma trận nghịch đảo bằng phép khử Gauss-Jordan

Phép khử Gauss-Jordan là một phương pháp tìm ma trận nghịch đảo.

• Bước 1: Tính định thức của ma trận A

d e t ( A ) = | 1 − 2 3 2 | = 1 ∗ 2 − ( − 2 ∗ 3 ) = 8 {\displaystyle det(A)={\begin{vmatrix}1&-2\\3&2\end{vmatrix}}=1*2-(-2*3)=8}

d e t ( A ) = 8 ≠ 0 {\displaystyle det(A)=8\neq 0} suy ra tồn tại ma trận nghịch đảo A − 1 {\displaystyle A^{-1}} , chuyển sang bước 2.

• Bước 2: Tìm ma trận chuyển vị A' của A.

A ′ = [ 1 3 − 2 2 ] {\displaystyle A'={\begin{bmatrix}1&3\\-2&2\end{bmatrix}}}

• Bước 3: Tìm ma trận phụ hợp A* của A'.

A ∗ = [ 2 2 − 3 1 ] {\displaystyle A^{*}={\begin{bmatrix}2&2\\-3&1\end{bmatrix}}}

• Bước 4: Tính ma trận nghịch đảo A − 1 {\displaystyle A^{-1}} .

A − 1 = 1 8 [ 2 2 − 3 1 ] = [ 0.25 0.25 − 0.375 0.125 ] {\displaystyle A^{-1}={\frac {1}{8}}{\begin{bmatrix}2&2\\-3&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0.25&0.25\\-0.375&0.125\end{bmatrix}}}